Question

【題目】已知橢圓的中心為原點，長軸在軸上，左頂點為，上、下焦點分別為，線段的中點分別為，且是斜邊長為的直角三角形.

（1）若點在橢圓上，且為銳角，求的取值范圍；

（2）過點作直線交橢圓于點，且，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據是斜邊長為的直角三角形可求得，進而可得橢圓的方程；根據為銳角，可得且與不共線，進而得到，利用橢圓方程可化為，解不等式，結合橢圓的范圍及可得到結果；

（2）設直線方程，與橢圓聯立得到韋達定理的形式；根據垂直關系可得，根據坐標運算可表示為符合韋達定理的式子，代入可構造關于的方程，解方程求得結果.

（1）設橢圓，則，，

，

是斜邊長為的直角三角形

即， 橢圓

，

為銳角 且與不共線

在橢圓上 ，即

解得：或

又 的取值范圍為

（2）由題意知，直線斜率存在，設方程為：

代入橢圓方程中得：

設，，則，

即

，解得：

直線的方程為：