Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，直線與圓C相切，圓心C的坐標為

（1）求圓C的方程；

（2）設直線y=x+m與圓C交于M、N兩點.

①若，求m的取值范圍；

②若OM⊥ON，求m的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②或

【解析】

（1）假設圓的方程，利用以為圓心的圓與直線相切，即可求得圓C的方程；
（2）①直線圓C交于M、N兩點，根據圓心到直線的距離，半徑，弦長之間的關系，得到關系式求出的范圍.
②設，聯立直線與圓的方程，通過韋達定理以及判別式，通過OM⊥ON，求出的值即可.

解：（1）設圓的方程是，
依題意，直線與圓C相切，
∴所求圓的半徑，
∴所求的圓方程是；
（2）①圓心到直線的距離，

，

解得；
②設，
，
消去，得到方程，
由已知可得，判別式，

化簡得，
①，
由于OM⊥ON，可得
又，

所以②，
由①，②得或，滿足，
故或.