Question

【題目】已知數列中，，（且）．

（1）求的值；

（2）是否存在實數，使得數列為等差數列？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；

（3）設數列的前n項和為，求．

Answer 1

【答案】（1），

（2）存在,

（3）

【解析】

(1)由 ，及遞推公式,計算即可求得的值;

(2) 設,利用，求得,再證明即證得存在實數，使得數列為等差數列;

(3) 由(2)知,數列為首項是2,公差是1的等差數列,求得,利用分組求和及錯位相減法即可求得結果.

解：（1），，．

（2）方法一：假設存在實數，使得數列為等差數列，

設，由為等差數列，則有，

，，解得．

又．

，所以存在實數，使得數列為首項是2，公差是1的等差數列．

方法二：設，

，

∴當時，為常數，此時，

所以存在實數，使得數列為首項是2，公差是1的等差數列．

方法三：，，兩邊同除得，

即，又，

所以存在實數，使得數列為首項是2，公差是1的等差數列．

（3）由（2）知，數列為首項是2，公差是1的等差數列，

，，

記，則，令，則

，

①

②

①-②得

，．