Question

對n∈N^*，不等式所表示的平面區域為D_n，把D_n內的整點（橫坐標與縱坐標均為整數的點）按其到原點的距離從近到遠排成點列：（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），…，（x_n，y_n）．
（1）求x_n，y_n；
（2）數列{a_n}滿足a₁=x₁且n≥2時，，求數列{a_n}的前n項和S_n；
（3）設c₁=1，當n≥2時，，且數列{c_n}的前n項和T_n，求T₉₉．

Answer 1

解：（1）的可行域為
如圖示，x_n=1，y_n=n
（2）由題意可知：a₁=1，a_n=
故
記，則

兩式相減得：

故
故數列{a_n}的前n項的和為：
（3）當n≥2時，
=
==lg（n+1）-lgn
T₉₉=1+（lg3-lg2）+（lg4-lg3）+（lg5-lg3）++（lg100-lg99）
=1+2-lg2
=3-lg2．
分析：（1）畫出可行域，結合圖形寫出x_n，y_n
（2）利用等比數列的前n項和公式求出a_n；利用錯位相減法和等差數列的前n項和公式求出S_n
（3）先化簡C_n，再利用裂項相消法求出T₉₉
點評：本題考查畫不等式組表示的平面區域；數列求和的方法：錯位相減法、公式法、裂項相消法．