Question

對n∈N^*，不等式所表示的平面區域為D_n，把D_n內的整點(橫坐標與縱坐標均為整數的點)按其到原點的距離從近到遠排成點列：(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，(x₃，y₄)，…，(x_n,y_n)

(Ⅰ)求x_n，y_n；

(Ⅱ)數列{a_n}滿足a₁=x₁，且n≥2時a_n=().證明當n≥2時,；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，試比較(1+)·(1+)·(1+)…(1+)與4的大小關系.

Answer 1

解：(Ⅰ)-nx+2n＞0x＜2,又x＞0且x∈N^*,∴x=1 

故D_n內的整點都落在直線x=1上且y≤n,故D_n內的整點按其到原點的距離從近到遠排成的點列為：(1,1),(1,2),(1,3),…,(1,n),∴x_n=1,y_n=n.

(Ⅱ)證：當n≥2時,由a_n=,

得,即=①

∴② 

②式減①式,有,得證. 

(Ⅲ)解：當n=1時,l+=2＜4；當n=2時,(1+)(1+)=2×＜4,

由(Ⅱ)知,當n≥2時,

∴當n≥3時,

=(1+a_n)

=

∵(n≥2),

∴上式＜2[1+(1)]=2(2)=4＜4,

∴(1+)·(1+)·(1+)…(1+)＜4.