Question

【題目】已知函數f（x）=x|x﹣a|的定義域為D，其中a為常數；
（1）若D=R，且f（x）是奇函數，求a的值；
（2）若a≤﹣1，D=[﹣1，0]，函數f（x）的最小值是g（a），求g（a）的最大值；
（3）若a＞0，在[0，3]上存在n個點xi（i=1，2，…，n，n≥3），滿足x1=0，xn=3，x1＜x2＜…＜xn ， 使|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xn﹣1）﹣f（xn）|= ，求實數a的取值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是R上的奇函數，

∴f（﹣1）+f（1）=﹣|﹣1﹣a|+|1﹣a|=0，

∴|a﹣1|=|a+1|，解得a=0．

∴f（x）=x|x|，經過驗證滿足題意

（2）解：a≤﹣1，D=[﹣1，0]，函數f（x）=x（x﹣a）= ﹣ ，

①a≤﹣2時，對稱軸x= ≤﹣1，函數f（x）在D上單調遞增，

∴f（x）的最小值是f（﹣1）=﹣（﹣1﹣a）=a+1，

則g（a）≤﹣2+1=﹣1，

故g（a）的最大值為﹣1；

②﹣2＜a≤﹣1時，對稱軸x= ∈ ，函數f（x）在（ ，﹣ ）上單調遞增，

在[﹣1， ]單調遞減；

∴f（x）的最小值是f（ ）=﹣ ，

則g（a）≤﹣ ，

故g（a）的最大值為﹣

（3）解：a＞0，函數f（x）=x|x﹣a|的圖象可由f（x）=x|x|的圖象右移a個單位得到．

而f（x）=x|x|= ，x＞0時遞增，x＜0時遞增，且f（x）的圖象連續，

則函數f（x）=x|x﹣a|在[0，3]遞增，

即有|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xn﹣1）﹣f（xn）|= ，

化為﹣（f（x1）﹣f（x2）+f（x2）﹣f（x3）+…+f（xn﹣1）﹣f（xn））= ，

即﹣（f（0）﹣f（3））= ，

則3|3﹣a|﹣0= ，

解得a= 或 ．

則實數a的取值為{ ， }

【解析】（1）由奇函數的定義可得f（﹣1）+f（1）=0，解得a=0，即可得到f（x）的解析式；（2）化簡f（x），對a討論，①a≤﹣2時，②﹣2＜a≤﹣1時，由二次函數對稱軸，結合單調性即可得到最值；（3）a＞0，函數f（x）=x|x﹣a|的圖象可由f（x）=x|x|的圖象右移a個單位得到．判斷f（x）=x|x|在R上遞增，可得函數f（x）=x|x﹣a|在[0，3]遞增，去掉絕對值，化簡整理計算即可得到a的取值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的最值及其幾何意義的相關知識，掌握利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值，以及對函數的奇偶性的理解，了解偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱．