Question

下列四個命題：正確命題的個數為（　　）
①若函數f（x）=ax²+bx+2與x軸沒有交點，則a≠0且b²-8a＜0；
②若log_m3＜lg_n3＜0，則0＜n＜m＜1；
③對于函數f（x）=lnx的定義域中任意的x₁，x₂（x₁≠x₂）必有f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

；
④若函數f（x）=3^x-2x-3，則方程f（x）=0有2個實數根．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①由函數f（x）=ax²+bx+2與x軸沒有交點，故△=b²-8a＜0或a=b=0，即可判斷真假；
②根據對數函數的圖象特征及關系，來判斷②是否正確；
③由基本不等式得到(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

錯誤；
④利用函數y=3^x與y=2x+3圖象交點個數，來判斷方程的解的個數，根據指數函數的圖象性質可判斷④是否正確．

解答：解：①由若函數f（x）=ax²+bx+2與x軸沒有交點，則b²-8a＜0且a＞0，或者b²-8a＜0且a＜0，或者a=b=0；所以此命題錯；
②由log_m3＜log_n3＜0得

1

log3m

＜

1

log3n

＜0，即log₃n＜log₃m＜0，所以0＜n＜m＜1，所以②正確；
③f（

x1+x2

2

）-

f(x1)+f(x2)

2

=ln（

x1+x2

2

）-

lnx1+lnx2

2

=ln（

x1+x2

2

）-ln

x1 x2

；
∵x₁，x₂∈（0，+∞）（且x₁≠x₂），∴

x1+x2

2

＞

x1 x2

，
又f（x）在（0，+∞）上單調遞增，∴ln（

x1+x2

2

）＞ln

x1 x2

，
∴f（

x1+x2

2

）＞

f(x1)+f(x2)

2

，命題③錯誤；
④∵函數y=3^x與y=2x+3的圖象有兩個交點，∴方程f（x）=0有2個實數根，命題④正確．
故答案為：B

點評：本題借助考查命題的真假判斷，主要考查二次函數、對數函數、指數函數的性質．