Question

【題目】設事件A表示“關于的一元二次方程有實根”，其中，為實常數.

（Ⅰ）若為區間[0，5]上的整數值隨機數，為區間[0，2]上的整數值隨機數，求事件A發生的概率；

（Ⅱ）若為區間[0，5]上的均勻隨機數，為區間[0，2]上的均勻隨機數，求事件A發生的概率.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】試題分析：

(1)列出所有可能的事件，結合古典概型公式可得滿足題意的概率值為；

(2)利用題意畫出概率空間，結合幾何概型公式可得滿足題意的概率值為.

試題解析：

（Ⅰ）當a∈{0，1，2，3，4，5}，b∈{0，1，2}時，共可以產生6×3=18個一元二次方程.

若事件A發生，則a 2－4b2≥0，即|a|≥2|b|. 又a≥0， b≥0，所以a≥2b.

從而數對（a，b）的取值為（0，0），（1，0），（2，0），（2，1），（3，0），（3，1），（4，0），（4，1），（4，2），（5，0），（5，1），（5，2），共12組值.

所以P（A）=.

（Ⅱ）據題意，試驗的全部結果所構成的區域為D={(a，b)|0≤a≤5，0≤b≤2}，構成事件A的區域為A={(a，b)|0≤a≤5，0≤b≤2，a≥2b}.

在平面直角坐標系中畫出區域A、D，如圖，

其中區域D為矩形，其面積S（D）=5×2=10，

區域A為直角梯形，其面積S（A）=.

所以P（A）=.