Question

給定：a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*），定義使a₁．a₂．a₃a_k為整數的數k（k∈N^*）叫做數列{a_n}的“企盼數”，則區間[1，2013]內所有“企盼數”的和為（　　）

• A、2026
• B、2024
• C、2028
• D、2014

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：用換底公式與疊乘法把a₁•a₂•a₃…a_k化為log₂（k+2），再根據a₁•a₂•a₃…a_k為整數，得k=2ⁿ-2，由區間[1，2013]確定n的取值，求出所有的企盼數的和．

解答： 解：∵a_n=log_n+1（n+2）=

log2(n+2)

log2(n+1)

，（n∈N^*），
∴a₁•a₂•a₃…a_k=

log23

log22

•

log24

log23

•

log25

log24

…

log2(k+2)

log2(k+1)

=log₂（k+2），
又∵a₁•a₂•a₃…a_k為整數，
∴k+2必須是2的n次冪（n∈N^*），即k=2ⁿ-2；
又k∈[1，2013]，∴1≤2ⁿ-2≤2013，∴取2≤n≤10；
∴區間[1，2013]內所有的企盼數的和為：
M=（2²-2）+（2³-2）+（2⁴-2）+…+（2¹⁰-2）=

22-211

1-2

-2×9=2026；
故選：A．

點評：本題考查了新定義下的數列求和、換底公式以及疊乘法等知識，是易錯題目．