Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=2cos2x+2 sinxcosx+a，且當(dāng)x∈[0， ]時(shí)，f（x）的最小值為2．
（Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）先將函數(shù)y=f （x） 的圖象上點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小為原來的 ，再將所得的圖象向右平移 個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求方程g（x）=4在區(qū)間[0， ]上所有根之和．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）=2cos2x+2 sinxcosx+a=cos2x+ sin2x+a+1

所以f（x）=2sin（2x+ ）+a+1，因?yàn)閤∈[0， ]，所以2x+ ∈[ ， ]．

f（x）min=﹣1+a+1=2，所以a=2．…

（Ⅱ）依題意得g（x）=2sin（4x﹣ ）+3，由g（x）=4得sin（4x﹣ ）=

4x﹣ =2kπ+ 或4x﹣ =2kπ+

所以x=

所以，所有根的和為 ．…

【解析】（Ⅰ）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡后，再根據(jù)三角函數(shù)的值域及f（x）的最小值求得a的值；（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換特點(diǎn)得到函數(shù)y=g（x）的具體方程，再根據(jù)三角函數(shù)的求值得到方程g（x）=4在區(qū)間[0， π 2 ]上所有根，最后求和即可.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，需要了解圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象才能得出正確答案．