Question

【題目】若對任意的x∈D，均有g（x）≤f（x）≤h（x）成立，則稱函數f（x）為函數g（x）到函數h（x）在區間D上的“任性函數”．已知函數f（x）=kx，g（x）=x2﹣2x，h（x）=（x+1）（lnx+1），且f（x）是g（x）到h（x）在區間[1，e]上的“任性函數”，則實數k的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】[e﹣2,2]
【解析】解：若f（x）是g（x）到h（x）在區間[1，e]上的“任性函數”，

則x∈[1，e]時， 恒成立，

即 恒成立，

即 恒成立，

若k≥x﹣2在區間[1，e]上恒成立，則k≥e﹣2；

令 ，若 在區間[1，e]上恒成立，則k≤v（x）min，

，

令u（x）=x﹣lnx，則u′（x）=1﹣ ，

當x∈[1，e]時，u′（x）≥0恒成立，

則u（x）=x﹣lnx在[1，e]上為增函數，u（x）≥u（1）=1恒成立，

即 ≥0恒成立，

故 在[1，e]上為增函數，

v（x）≥v（1）=2恒成立，

故k≤2，

綜上可得：k∈[e﹣2，2]，

所以答案是：[e﹣2，2]

【考點精析】關于本題考查的函數的最大(小)值與導數，需要了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．