Question

經過原點且與曲線y=

x+9

x+5

相切的切線方程是

 

．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：求出原函數的導函數，設出切點坐標，得到切點處的導數，由直線方程的點斜式得到切線方程，代入原點坐標求得切點橫坐標，則答案可求．

解答： 解：由y=

x+9

x+5

，得y′=

x+5-x-9

(x+5)2

=

-4

(x+5)2

，
設切點為（x0，

x0+9

x0+5

），
則y′|x=x0=

-4

(x0+5)2

，
∴切線方程為y-

x0+9

x0+5

=

-4

(x0+5)2

(x-x0)，
∵切線過點（0，0），
∴-

x0+9

x0+5

=

4x0

(x0+5)2

，解得：x₀=-3或x₀=-15．
當x₀=-3時，切線方程為：x+y=0；
當x₀=-15時，切線方程為：x+25y=0．
故答案為：x+y=0或x+25y=0．

點評：本題考查了利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，過曲線上某點的切線的斜率，就是函數在該點處的導數值，是中檔題．