Question

【題目】已知函數在點處的切線方程為.

（1）求的值；

（2）已知，當時，恒成立，求實數的取值范圍；

（3）對于在中的任意一個常數，是否存在正數，使得？請說明理由.

Answer 1

【答案】(1);(2);(3)見解析.

【解析】分析：（1）求出導函數，根據導數的幾何意義以及函數在點處的切線方程為，可得，進而可得結果；（2）令，問題轉化為恒成立，利用導數研究函數的單調性，可得，∴，從而可得結果；（3）對于，假設存在正數，問題轉化為，要存在正數使得上式成立，只需上式最小值小于0即可,利用導數研究函數的單調性，求出函數的極值與最值，可得存在正數，使得成立.

詳解：（1）函數的定義域為，

∵，∴，

故函數在點處的切線方程為即

又已知函數在點處的切線方程為，

∴

∴

（2）由（1）可知，，

∵，∴，

即，令，

則，

∵，

∴，

∴，∴在為增函數

∴，

∴，∴

（3）對于，假設存在正數使得成立，

即，

∴

要存在正數使得上式成立，只需上式最小值小于0即可

令，則，

令，得；令，得；

∴為函數的極小值點，亦即最小值點，即函數的最小值為

令，則

∴在上是增函數，∴，

∴

∴存在正數，使得成立.