Question

【題目】已知橢圓:過點和點.

（Ⅰ）求橢圓的方程;

（Ⅱ）設直線與橢圓相交于不同的兩點, ,是否存在實數,使得?若存在,求出實數;若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在

【解析】試題分析： 由已知求得，把點的坐標代入橢圓方程求得的值，進而得到橢圓的方程； 假設存在實數滿足題設，聯立直線方程與橢圓方程，由判別式大于求得的范圍，再由根與系數的關系求得的中點的坐標，進一步求得，結合，可得，由斜率的關系列式求得的值，檢驗即可得到結論

解析：（Ⅰ）橢圓:過點和點,

所以,由,解得,

所以橢圓:;

（Ⅱ）假設存在實數滿足題設,

由,得,

因為直線與橢圓有兩個交點,

所以,即,

設的中點為,分別為點的橫坐標,則,

從而,

所以,

因為,

所以,

所以,而,

所以,即,與矛盾,

因此,不存在這樣的實數,使得.