Question

將各項均為正數的數列{a_n}排成如圖所示的三角形數陣（第n行有n個數，同一行下標小的排在左邊）．b_n表示數陣中第n行第1列的數．
已知數列{b_n}為等比數列，且從第3行開始，各行均構成公差為d的等差數列，a₁=1，a₁₂=17，a₁₈=34．
（1）求數陣中第m行第n列（m，n∈N⁺且m≥3，n≤m）的數A_mn（用m，n表示）；
（2）試問a₂₀₁₅處在數陣中第幾行第幾列？
（3）試問這個數列中是否有2015這個數？有求出具體位置，沒有說明理由．

Answer 1

考點：等差數列與等比數列的綜合

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由題意和等差、等比數列的通項公式，列出關于公差d和公比q的方程組，求出q、d的值、b_n，由題意和等差、等比數列的通項公式求出A_mn的表達式；
（2）由圖表得到每一行中數的個數，由等差數列的求和公式求出前62、63行數的個數，從而確定a₂₀₁₅為數陣中第63行第62列的數；
（3）假設2015為數陣中第m行第n列的數，由數的規律列出不等式，再取特值進行驗證，從而確定不等式沒有整數解，即可說明2015不在該數陣中．

解答： 解：（1）設公比為q，公差為d，
由題意知：a₁=1，a₁₂=17，a₁₈=34，
所以b₁=a₁=1，則

a12=q4+d=17 a18=q5+2d=34

，…2分
解得：q=2、d=1，則b_n=2^n-1，
所以A_mn=b_m+（n-1）d=2^n-1+n-1…4分
（2）由表格知：每一行中有n個數，
因為1+2+3+…+62=

62(1+62)

2

=1953，1+2+3+…+63=1953+63=2016…6分
所以2015-1953=62…8分
則a₂₀₁₅為數陣中第63行第62列的數．…10分
（3）假設2015為數陣中第m行第n列的數，
由第m行最小的數為2^m-1，最大的數為2^m-1+m-1，
所以2^m-1≤2015≤2^m-1+m-1，…14分
當m≤11時，2^m-1+m-1≤2¹⁰+10=1034＜2013；…16分
當m≥12時，2^m-1≥2¹¹=2048＞2015，
于是，不等式2^m-1≤2015≤2^m-1+m-1沒有整數解，
所以2015不在該數陣中．…18分．

點評：本題考查等差、等比數列的通項公式，歸納法的應用，考查綜合分析問題和解決問題的能力，解答此題要有很好的耐心，考查了邏輯思維能力和運算能力，是難度非常大的少見題目．