Question

已知函數f（x）=x-alnx．
（1）若a=1，求該函數在定義域內的最小值；
（2）若函數f（x）在區間[1，2]內時，f（x）≥0，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：函數f（x）=x-alnx的定義域為（0，+∞）；
（1）若a=1，f（x）=x-lnx，求導從而確定最小值；
（2）求導f′（x）=1-a

1

x

=

x-a

x

，討論f（x）的單調性，化恒成立問題為最值問題即可．

解答： 解：函數f（x）=x-alnx的定義域為（0，+∞）；
（1）若a=1，f（x）=x-lnx，
f′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

，
f（x）在（0，+∞）上先減后增，
故f_min（x）=f（1）=1-0=1；
（2）f′（x）=1-a

1

x

=

x-a

x

，
①當a≤1時，f′（x）≥0，
f（x）在[1，2]上單調遞增，
故f（x）≥0可化為f（1）≥0，
即1≥0，顯然成立；
②當a≥2時，f′（x）≤0，
f（x）在[1，2]上單調遞減，
故f（x）≥0可化為f（2）≥0，
即2-aln2≥0，
解得，a≤

2

ln2

=2log₂e；
故2≤a≤2log₂e；
③當1＜a＜2時，
當1≤x＜a時，f′（x）＜0，
當a≤x≤2時，f′（x）≥0；
f（x）在[1，a]上單調遞減，在[a，2]上單調遞增；
故f（x）≥0可化為f（a）≥0，
即a-alna≥0，
解得，a≤e，
故1＜a＜2；
綜上所述，a≤2log₂e．

點評：本題考查了導數的應用及恒成立問題，同時考查了分類討論的數學思想，屬于中檔題．