Question

求曲線C：y=x²-2x+2關(guān)于直線l：x-y-3=0的對稱曲線C₂的方程．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：轉(zhuǎn)化思想,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)所求曲線C₂上任意一點P（x，y），由P關(guān)于直線x-y-3=0對稱的點P'（m，n）在已知曲線上，根據(jù)P與P'關(guān)于直線x-y-3=0對稱建立可得P與P′的關(guān)系，進而用x、y表示m，n，然后代入已知曲線f（x，y）=0，即可求出所求．

解答： 解：設(shè)點P（x，y）在所求曲線C₂上，
該點關(guān)于直線對稱的點P′（m，n）在曲線C上，即n=m²-2m+2，
因為PP′垂直于直線l，
所以

n-y

m-x

=-1⇒m+n=x+y①，
而PP′中點在直線上l，
所以

m+x

2

-

y+n

2

-3=0⇒m-n=6-x+y②，
①②聯(lián)立，解得m=y+3，n=x-3，
則（x-3）=（y-3）²-2（y-3）+2，
即x=y^2₊₄y+8．

點評：本題主要考查了已知曲線關(guān)于直線l對稱的曲線的求解，其步驟一般是：在所求曲線上任取一點A求出A關(guān)于直線的對稱點B，則B在已知曲線上，從而代入已知曲線可求所求曲線．