Question

【題目】如圖所示的多面體中，平面，，，且，點是的中點．

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）．

【解析】

（1）推導出 ，從而平面，，推導出，由此能證明平面，從而平面平面．

（2）以為原點，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角的余弦值．

(1)證明：∵，點是的中點，∴，

∵平面，平面，

∵，∴平面，

∵平面，

∵中， ，∴，

∵中， ，

∴，

，

∴，

∴，

∵平面，

∵平面，∴平面平面．

(2)解：以為原點，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標系，

則， ，， ，

，，，，

設平面的法向量，

則，取，得，

設平面的法向量，

則，取，得，

設二面角的平面角為，

則，

又因為此二面角為銳二面角，

所以二面角的余弦值為．