Question

【題目】如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，點E為棱PC的中點．

(1)證明：BE⊥DC；

(2)求直線BE與平面PBD所成角的正弦值；

(3)若F為棱PC上一點，滿足BF⊥AC，求二面角F－AB－P的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)見解析(2) (3)

【解析】試題分析：（I）以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，求出BE，DC的方向向量，根據

，可得BE⊥DC；（II）求出平面PBD的一個法向量，代入向量夾角公式，可得直線BE與平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）根據BF⊥AC，求出向量的坐標，進而求出平面FAB和平面ABP的法向量，代入向量夾角公式，可得二面角F-AB-P的余弦值

試題解析：方法一：依題意，以點A為原點建立空間直角坐標系（如圖所示），可得B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．C由E為棱PC的中點，得E（1，1，1）．

（1）證明：向量＝（0，1，1），＝（2，0，0），

故＝0，

所以BE⊥DC.

（2）向量＝（－1，2，0），＝（1，0，－2）．

設n＝（x，y，z）為平面PBD的法向量，

則

不妨令y＝1，可得n＝（2，1，1）為平面PBD的一個法向量．于是有

＝＝＝，

所以直線BE與平面PBD所成角的正弦值為.

（3） 向量＝（1，2，0），＝（－2，－2，2），＝（2，2，0），＝（1，0，0）．

由點F在棱PC上，設＝λ，0≤λ≤1.

故＝＋＝＋λ＝（1－2λ，2－2λ，2λ）．由BF⊥AC，得＝0，因此2（1－2λ）＋2（2－2λ）＝0，解得λ＝，即＝.設n1＝（x，y，z）為平面FAB的法向量，即不妨令z＝1，可得n1＝（0，－3，1）為平面FAB的一個法向量．取平面ABP的法向量n2＝（0，1，0），則

cos〈n1，n2〉＝＝＝－.

易知二面角F AB P是銳角，所以其余弦值為.

方法二：（1）證明：如圖所示，取PD中點M，連接EM，AM.由于E，M分別為PC，PD的中點，故EM∥DC，且EM＝DC.又由已知，可得EM∥AB且EM＝AB，故四邊形ABEM為平行四邊形，所以BE∥AM.

因為PA⊥底面ABCD，故PA⊥CD，而CD⊥DA，從而CD⊥平面PAD.因為AM平面PAD，所以CD⊥AM.又BE∥AM，所以BE⊥CD.

（2）連接BM，由（1）有CD⊥平面PAD，得CD⊥PD.而EM∥CD，故PD⊥EM.又因為AD＝AP，M為PD的中點，所以PD⊥AM，可得PD⊥BE，所以PD⊥平面BEM，故平面BEM⊥平面PBD，所以直線BE在平面PBD內的射影為直線BM.而BE⊥EM，可得∠EBM為銳角，故∠EBM為直線BE與平面PBD所成的角．

依題意，有PD＝2，而M為PD中點，可得AM＝，進而BE＝.故在直角三角形BEM中，tan∠EBM＝＝＝，因此sin∠EBM＝，

所以直線BE與平面PBD所成角的正弦值為.

（3）如圖所示，在△PAC中，過點F作FH∥PA交AC于點H.因為PA⊥底面ABCD，所以FH⊥底面ABCD，從而FH⊥AC.又BF⊥AC，得AC⊥平面FHB，因此AC⊥BH.在底面ABCD內，可得CH＝3HA，從而CF＝3FP.在平面PDC內，作FG∥DC交PD于點G，于是DG＝3GP.由于DC∥AB，故GF∥AB，所以A，B，F，G四點共面．由AB⊥PA，AB⊥AD，得AB⊥平面PAD，故AB⊥AG，所以∠PAG為二面角F AB P的平面角．

在△PAG中，PA＝2，PG＝PD＝，∠APG＝45°.由余弦定理可得AG＝，cos∠PAG＝，所以二面角F AB P的余弦值為.