Question

【題目】已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，準線為l，過l上一點P作拋物線C的兩條切線，切點為A，B．

（1）求證：直線AB過焦點F；

（2）若|PA|＝8，|PB|＝6，求|PF|的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

（1）設A，B，P的坐標，設直線PA，PB的方程與拋物線聯立，求出兩根之和及兩根之積，由判別式為0及點A，B在拋物線上可得直線PA，PB的斜率與A，B的縱坐標的關系，由于P在兩條直線上，可得直線AB的方程ay＝﹣2+2x 上，可得直線AB恒過定點（1，0），即直線過拋物線的焦點；

（2）由（1）可得直線AB 的方程，與拋物線聯立求出兩根之和及兩根之積，進而求出直線PA，PB的斜率之積為﹣1，所以直線PA，PB互相垂直，可得弦長|AB|的值，A，B代入拋物線的方程作差可得直線AB的斜率，求出PF的斜率與AB的斜率之積為﹣1，進而求出PF的值．

解：（1）設點A（x1，y1），B（x2，y2），P（﹣1，a）、設直線PA：y﹣y1＝k1（x﹣x1），

聯立 整理可得：y24x1＝0，

由△＝0 得1﹣k1y1+k12x1＝0 又y12＝4x1，故1﹣k1y1k12y12＝0，

故（1）2＝0，

故kPA＝k1，故直線PA的方程為：y﹣y1（x﹣x1），即yy1＝2x+2x1，

同理kPB，直線PB 的方程為：yy2＝2x+2x2．

又P在直線PA，PB 上∴，

故A（x1，y1），B（x2，y2），在直線ay＝﹣2+2x 上，

故直線AB 的方程為ay＝﹣2+2x．令y＝0，得x＝1，

∴直線AB過焦點F．

（2）由（1）知聯立消x 得：y2﹣2ay﹣4＝0 ，

故y1+y2＝2a，y1y＝﹣4，故kPAkPB1，

故直線PA與直線PB垂直，從而|AB|10，

又∴y12﹣y22＝4（x1﹣x2），kAB，

又kPF，kPFkAB＝﹣1，故PF⊥AB，

∴|PF|．