Question

提高大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．一般情況下，大橋上的車流
速度v(單位：千米/小時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數．當車流密度不超過50輛/千米時，車流速度為30千米/小時．研究表明：當50＜x≤200時，車流速度v與車流密度x滿足．當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0千米/小時．                  
（Ⅰ）當0<x≤200時，求函數v(x)的表達式；
（Ⅱ）當車流密度x為多大時，車流量(單位時間內通過橋上觀測點的車輛數，單位：
輛/小時)f(x)＝x·v(x)可以達到最大，并求出最大值．(精確到個位，參考數據）

Answer 1

(1) ．
(2)當車流密度為138 輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3056輛/千米時。

解析試題分析：(1) 由題意：當0＜x≤50時，v(x)＝30；
當50≤x≤200時，由于，
再由已知可知，當x＝200時，v(0)＝0，代入解得k＝2000.
故函數v(x)的表達式為． 6分
(2) 依題意并由(1)可得，
當0≤x≤50時，f(x)＝30x，當x＝50時取最大值1500. 　 當50<x≤200時，

取等號當且僅當，即時，f(x)取最大值．
（這里也可利用求導來求最大值）
綜上，當車流密度為138 輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3056輛/千米時。
考點：本題主要考查分段函數的概念，利用均值定理求函數的最值。
點評：中檔題，作為函數的應用問題，確定函數解析式是其一個基本要求，在此基礎上，進一步研究函數的圖象和性質，確定最值，往往可以應用導數或“均值定理”。應用“均值定理”，要注意“一正，二定，三相等”，缺一不可。