Question

【題目】已知拋物線E：y2＝2px（p＞0），焦點F到準線的距離為3，拋物線E上的兩個動點A（x1，y1）和B（x2，y2），其中x1≠x2且x1+x2＝4．線段AB的垂直平分線與x軸交于點 C．

（1）求拋物線E的方程；

（2）求△ABC面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y2＝6x（2）．

【解析】

（1）根據拋物線定義，寫出焦點坐標和準線方程，列方程即可得解；

（2）根據中點坐標表示出|AB|和點到直線的距離，得出面積，利用均值不等式求解最大值.

（1）拋物線E：y2＝2px（p＞0），焦點F（，0）到準線x的距離為3，可得p＝3，即有拋物線方程為y2＝6x；

（2）設線段AB的中點為M（x0，y0），則，

y0，kAB，

則線段AB的垂直平分線方程為y﹣y0（x﹣2），①

可得x＝5，y＝0是①的一個解，所以AB的垂直平分線與x軸的交點C為定點，

且點C（5，0），由①可得直線AB的方程為y﹣y0（x﹣2），即x（y﹣y0）+2 ②

代入y2＝6x可得y2＝2y0（y﹣y0）+12，即y2﹣2y0y+2y02＝0 ③，

由題意y1，y2是方程③的兩個實根，且y1≠y2，

所以△＝4y02﹣4（2y02﹣12）＝﹣4y02+48＞0，解得﹣2y0＜2，

|AB|

，

又C（5，0）到線段AB的距離h＝|CM|，

所以S△ABC|AB|h

，

當且僅當9+y02＝24﹣2y02，即y0＝±，A（，），B（，），

或A（，），B（，）時等號成立，

所以S△ABC的最大值為．