Question

【題目】如圖，在菱形中，，點為中點，平面

（1）求證：平面.

（2）若，，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】

（1）要證CD⊥平面PAN，可由PA⊥平面ABCD得出CD⊥PA；△ACD為正三角形，點N為CD中點，得出CD⊥AN，且PA∩AN=A而證出．
（2）過A作AH⊥PN于H，則AH⊥平面PCD，連接CH，則∠ACH為直線AC與平面PCD所成角．在RT△ACH中求解即可．

（1）證明：因為四邊形ABCD為菱形，∠BAD＝120°，所以△ACD為正三角形，所以AC＝AD，又因為點N為CD中點，所以CD⊥AN．

∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，∴CD⊥PA．PA∩AN＝A，∴CD⊥平面PAN．

（2）由（1）知，CD⊥平面PAN，CD平面PCD，∴平面PAN⊥平面PCD，且平面PAN∩平面PCD＝PN，

過A作AH⊥PN于H，則AH⊥平面PCD，連接CH，則∠ACH為直線AC與平面PCD所成角．

在RT△PAN中，PA，AN，由勾股定理得出PN，根據面積相等法得AH．

在RT△ACH中，sin∠ACH．即直線AC與平面PCD所成角的正弦值是．