Question

【題目】已知函數，其中.

（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）求證: 當時，.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)y=2e (Ⅱ)見證明

【解析】

（Ⅰ）求出導函數，求出切點坐標，切線的斜率，然后求解曲線y＝f（x）在（﹣1，f（﹣1））處的切線方程；

（Ⅱ）法一：，令f'（x）＝0，求出極值點，判斷導函數的符號，得到函數的單調性，求出函數的最小值，只需證明，，，設，其中x＞2，利用導函數轉化求解即可；

法二：設，其中x＞0，，推出F（x）在區間（0，2）上單調遞減，在（2，+∞）上單調遞增，所以函數F（x）在x＝2時取得最小值，而，推出結果即可；

法三：因為“對任意的x＞0，”等價于“對任意的x＞0，”，只需證“x＞0時，2ex+e（a﹣x2）＞0”，設g（x）＝2ex+e（a﹣x2），其中x≥0，g'（x）＝2ex﹣2ex，設h（x）＝g'（x），h'（x）＝2ex﹣2e，求出函數的極小值，通過g（x）在（0，+∞）上單調遞增，得g（x）＞g（0），轉化證明即可．

（Ⅰ）因為

所以

當時，

所以，而

曲線在處的切線方程為

（Ⅱ）法一：

因為，令

得

顯然當時，

所以，，在區間上的變化情況如下表:

		0
		極小值

所以在區間上單調遞減，在單調遞增，

所以在上的最小值為，所以只需證明

因為，所以

設，其中

所以

當時，，所以在區間單調遞增，

因為 ，所以，問題得證

法二：

因為，所以當時，

設，其中

所以

所以，，的變化情況如下表:

		0
		極小值

所以在區間上單調遞減，在上單調遞增，

所以函數在時取得最小值，而

所以時

所以，問題得證

法三：

因為“對任意的，”等價于“對任意的，”

即“，”，故只需證“時，”

設，其中

所以

設，,

令，得

所以，，的變化情況如下表:

		0
		極小值

所以在處取得極小值，而

所以

所以時，，所以在上單調遞增，得

而，所以 問題得證