Question

【題目】已知等軸雙曲線的兩個焦點、在直線上，線段的中點是坐標原點，且雙曲線經過點．

(1)若已知下列所給的三個方程中有一個是等軸雙曲線的方程：①；②；③．請推理判斷哪個是等軸雙曲線的方程，并求出此雙曲線的實軸長；

(2)現要在等軸雙曲線上選一處建一座碼頭，向、兩地轉運貨物．經測算，從到、從到修建公路的費用都是每單位長度萬元，則碼頭應建在何處，才能使修建兩條公路的總費用最低？

Answer 1

【答案】（1）實軸長為；（2）碼頭應在建點處，才能使修建兩條公路的總費用最低

【解析】

（1）顯然①的焦點不在直線上，不滿足條件；對于②，顯然點不在曲線上；對于③符合條件，聯立可得頂點坐標，求出實軸長即可.

（2）由題意，實際問題可轉化為在雙曲線上求一點P,使最小，分析易得P位于第一象限，設雙曲線的另一個焦點為,由雙曲線定義可知，只需求的最小值即可.

(1)、雙曲線的焦點在軸上，所以①不是雙曲線的方程

雙曲線不經過點，所以②不是雙曲線的方程，所以③是等軸雙曲線的方程,

等軸雙曲線的焦點、在直線上，所以雙曲線的頂點也在直線上，

聯立方程，解得雙曲線的兩頂點坐標為，，兩頂點間距離為6，

所以雙曲線的實軸長為

(2)所求問題即為：在雙曲線求一點，使最小．

首先，點應該選擇在等軸雙曲線的中第一象限的那一支上

等軸雙曲線的的長軸長為，所以其焦距為

又因為雙曲線的兩個焦點、在直線上，線段的中點是原點，所以是的一個焦點，

設雙曲線的另一個焦點為，由雙曲線的定義知：

所以，要求的最小值，只需求的最小值，直線的方程為，所以直線與雙曲線在第一象限的交點為 ，

所以碼頭應在建點處，才能使修建兩條公路的總費用最低