Question

已知函數的圖像過坐標原點，且在點 處的切線斜率為.
（1）求實數的值；
（2） 求函數在區間上的最小值；
（Ⅲ）若函數的圖像上存在兩點，使得對于任意給定的正實數都滿足是以為直角頂點的直角三角形，且三角形斜邊中點在軸上，求點的橫坐標的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）；（Ⅲ）點的橫坐標的取值范圍為．

試題分析：（1）求實數的值求導數，根據函數在點處的切線的斜率是，由導數的幾何意義，及當時，，對函數求導數得，，依題意，可求出，又因為圖象過坐標原點，則，即可求得實數的值；（2）求函數在區間上的最小值，當時，，對函數求導函數，令，解出的值，確定函數的單調性，計算導數等零點與端點的函數值，從而可得函數在區間上的最小值；（Ⅲ）設，因為中點在軸上，所以，根據，可得，分類討論，確定函數的解析式，利用，即可求得結論．
試題解析：（1）當時，，
依題意，
又   故              3分
（2）當時，
令有，故在單調遞減；在單調遞增；
在單調遞減．又,
所以當時，          6分
（Ⅲ）設，因為中點在軸上，所以
又  ①
（ⅰ）當時，，當時，．故①不成立  7分
（ⅱ）當時，代人①得：
，
無解                                  8分
（ⅲ）當時，代人①得：
   ②
設，則是增函數.
的值域是．               10分
所以對于任意給定的正實數，②恒有解，故滿足條件．
（ⅳ）由橫坐標的對稱性同理可得，當時，
，代人①得：
 ③
設，令，則由上面知
的值域是的值域為.
所以對于任意給定的正實數，③恒有解，故滿足條件。      12分
綜上所述，滿足條件的點的橫坐標的取值范圍為                14分