Question

已知一動圓與圓x²+y²+6x+5=0外切，同時與圓x²+y²-6x-91=0內(nèi)切．
（1）求動圓圓心M的軌跡方程，并說明它是什么樣的曲線；
（2）直線y=x+1與M的軌跡相交于不同的兩點P、Q，求PQ的中點的坐標．

Answer 1

考點：軌跡方程,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出兩個圓的圓心與半徑，設(shè)出動圓的圓心與半徑，判斷動圓的圓心軌跡，推出結(jié)果即可．
（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，設(shè)出交點坐標，利用韋達定理求出中點坐標即可．

解答： 解：（1）圓x²+y²+6x+5=0的圓心為A（-3，0），半徑為2；
圓x²+y²-6x-91=0的圓心為B（3，0），半徑為10；
設(shè)動圓圓心為M（x，y），半徑為x；
則MA=2+r，MB=10-r；
于是MA+MB=12＞AB=6
所以，動圓圓心M的軌跡是以A（-3，0），B（3，0）為焦點，長軸長為12的橢圓．
a=6，c=3，b²=a²-c²=27；
所以M的軌跡方程為

x2

36

+

y2

27

=1
（2）由

y=x+1 x2 36 + y2 27 =1

，消去y得：7x²+8x-104=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ中點為N（x₀，y₀）；則x1+x2=-

8

7

，
∴x0=

x1+x2

2

=-

4

7

；
∴y₀=x₀+1=

3

7

所以PQ的中點坐標為(-

4

7

，

3

7

)．

點評：本題考查軌跡方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．