Question

等差數列{a_n}的前n項和為S_n，數列{b_n}是等比數列，滿足a₁=3，b₁=1，b₂+S₂=10，a₅-2b₂=a₃．
（Ⅰ）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）令Cn=

2 Sn ，n為奇數 bn，n為偶數

設數列{c_n}的前n項和T_n，求T_2n．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的通項公式,等比數列的通項公式

專題：等差數列與等比數列

分析：（I）利用等差數列與等比數列的通項公式即可得出；
（Ⅱ）由a₁=3，a_n=2n+1得S_n=n（n+2）．則n為奇數，c_n=

2

Sn

=

1

n

-

1

n+2

．“分組求和”，利用“裂項求和”、等比數列的前n項和公式即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）設數列{a_n}的公差為d，數列{b_n}的公比為q，
由b₂+S₂=10，a₅-2b₂=a₃．
得

q+6+d=10 3+4d-2q=3+2d

，解得

d=2 q=2

∴a_n=3+2（n-1）=2n+1，bn=2n-1．
（Ⅱ）由a₁=3，a_n=2n+1得S_n=n（n+2），
則n為奇數，c_n=

2

Sn

=

1

n

-

1

n+2

，
n為偶數，c_n=2^n-1．
∴T_2n=（c₁+c₃+…+c_2n-1）+（c₂+c₄+…+c_2n）
=[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]+(2+23+…+22n-1)
=1-

1

2n+1

+

2(1-4n)

1-4

=

2n

2n+1

+

2

3

(4n-1)．

點評：本題考查了等差數列與等比數列的通項公式及其前n項和公式、“分組求和”、“裂項求和”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．