Question

若正數a，b，c滿足a+b+c=1．
（1）求證：

1

3

≤a²+b²+c²＜1；
（2）求

1

2a+1

+

1

2b+1

+

1

2c+1

的最小值．

Answer 1

考點：不等式的證明

專題：選作題,不等式

分析：（1）利用條件，兩邊平方，利用基本不等式，即可證得結論；
（2）由柯西不等式可得

1

2a+1

+

1

2b+1

+

1

2c+1

=

1

5

（

1

2a+1

+

1

2b+1

+

1

2c+1

）（2a+1+2b+1+2c+1）≥（1+1+1）²=9，即可求

1

2a+1

+

1

2b+1

+

1

2c+1

的最小值

解答： （1）證明：∵a+b+c=1，
∴1=（a+b+c）²=a²+b²+c²+2（ab+bc+ac）≤3（a²+b²+c²），
∴a²+b²+c²≥

1

3

．
∵a-a²=a（1-a），0＜a＜1，∴a＞a²，
同理b＞b²，c＞c²，
∴a²+b²+c²＜a+b+c=1，
∴

1

3

≤a²+b²+c²＜1；
（2）解：由柯西不等式可得

1

2a+1

+

1

2b+1

+

1

2c+1

=

1

5

（

1

2a+1

+

1

2b+1

+

1

2c+1

）（2a+1+2b+1+2c+1）≥（1+1+1）²=9（當且僅當a=b=c時取等號），
∴

1

2a+1

+

1

2b+1

+

1

2c+1

的最小值為

9

5

，當且僅當a=b=c=

1

3

時取到．

點評：本題考查不等式的證明，考查基本不等式的運用，考查柯西不等式的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．