Question

如圖，PA平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，PA=AB=，AD=1，點F是PB的中點，點E在邊BC上移動．

(I)求三棱錐E—PAD的體積；
(II)試問當點E在BC的何處時，有EF//平面PAC；
(1lI)證明：無論點E在邊BC的何處，都有PEAF．

Answer 1

見解析

試題分析：（Ⅰ）注意到PA平面ABCD，得知的長即為三棱錐的高，而三棱錐的體積等于的體積，計算即得.
（Ⅱ）當點為的中點時，與平面平行．
利用三角形中位線定理，得到，進一步得出∥平面．
（Ⅲ）證明：根據(jù)等腰三角形得出，根據(jù)平面，平面，
得到 ，又因為 且，?平面，得到平面，又平面，．
再根據(jù)，平面，及平面，根據(jù)，作出結論.
試題解析：（Ⅰ）由已知PA平面ABCD，所以的長即為三棱錐的高，三棱錐的體積等于的體積
= = ．
（Ⅱ）當點為的中點時，與平面平行．
∵在中，分別為的中點，連結
，又平面，而平面，
∴∥平面．
（Ⅲ）證明：因為，所以等腰三角形中，
∵平面，平面，
∴ 
又因為 且，?平面，
∴平面，又平面，
∴．
又∵，
∴平面．PB，BE?平面PBE，
∵平面，
∴，即無論點E在邊的何處，都有．