Question

【題目】已知函數.

（1）求函數在點處的切線方程；

（2）若存在，對任意，使得恒成立，求實數的取值范圍；

（3）已知函數區間上的最小值為1，求實數的值.

Answer 1

【答案】（1）；(2) ；(3) .

【解析】

(1)對函數求導得到，代入點（1，1）可得到方程；（2）設函數，存在，對任意恒成立，即在上存在最小值，對函數求導則只需要函數在上不單調即可；（3），，存在唯一的，使得，即 （*），=，可根據不等式得到最值，進而求得a值.

（1） ，則函數在點處的切線方程為；

(2)設函數，存在，對任意恒成立，即在上存在最小值，

=，，

當時，恒成立，在上單調遞增，無最小值；

當時，，在上單調遞減，，在上單調遞增，時，有最小值滿足題意，實數的取值范圍是；

（3），，

在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，存在唯一的，使得，即 （*），

函數在上單調遞增，，單調遞減；，單調遞增，，由式得，

=

,

（當且僅當時），由得,此時，把代入（*）也成立，

∴實數的值為.