Question

【題目】已知四棱錐的底面ABCD是菱形，平面ABCD，，，F，G分別為PD，BC中點，.

（Ⅰ）求證：平面PAB；

（Ⅱ）求三棱錐的體積；

（Ⅲ）求證：OP與AB不垂直.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）（Ⅲ）見解析

【解析】

（Ⅰ）連接，，由已知結合三角形中位線定理可得平面，再由面面平行的判斷可得平面平面，進而可得平面；

（Ⅱ）首先證明平面，而為的中點，然后利用等積法求三棱錐的體積；

（Ⅲ）直接利用反證法證明與不垂直.

（Ⅰ）如圖，連接，

∵是中點，是中點，

∴，而平面，平面，

∴平面，

又∵是中點，是中點，

∴，而平面，平面，

∴平面，又

∴平面平面，即平面.

（Ⅱ）∵底面，

∴，又四邊形為菱形，

∴，又，

∴平面，而為的中點，

∴.

（Ⅲ）假設，又，且，

∴平面，則，與矛盾，

∴假設錯誤，故與不垂直.