Question

【題目】已知點F是拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點,點M(x0,1)在C上,且|MF|=.

(1)求p的值;

(2)若直線l經過點Q(3,-1)且與C交于A,B(異于M)兩點,證明:直線AM與直線BM的斜率之積為常數.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）拋物線定義知|，則 ，求得x0=2p，代入拋物線方程， ；
（2）由（1）得M（1，1），拋物線C：y2=2x，

當直線l經過點Q（3，-1）且垂直于x軸時，直線AM的斜率 ，直線BM的斜率 ， ．

當直線l不垂直于x軸時，直線l的方程為y+1=k（x-3），代入拋物線方程，由韋達定理及斜率公式求得 ，即可證明直線AM與直線BM的斜率之積為常數．

(1)由拋物線定義知|MF|=x0+,則x0+=x0,解得x0=2p,

又點M(x0,1)在C上,所以2px0=1,解得x0=1,p=.

(2)由(1)得M(1,1),C:y2=x.

當直線l經過點Q(3,-1)且垂直于x軸時,不妨設A(3,),B(3,-),

則直線AM的斜率kAM=,直線BM的斜率kBM=,所以kAM·kBM=-×=-.

當直線l不垂直于x軸時,設A(x1,y1),B(x2,y2),

則直線AM的斜率kAM===,同理直線BM的斜率kBM=,∴kAM·kBM=·=.

設直線l的斜率為k(顯然k≠0且k≠-1),則直線l的方程為y+1=k(x-3).

聯立消去x,得ky2-y-3k-1=0,

所以y1+y2=,y1y2=-=-3-,故kAM·kBM===-.

綜上,直線AM與直線BM的斜率之積為-.