Question

【題目】已知中心在原點的橢圓的兩焦點分別為雙曲線的頂點，直線與橢圓交于、兩點，且，點是橢圓上異于、的任意一點，直線外的點滿足， ．　

（1）求點的軌跡方程；

（2）試確定點的坐標，使得的面積最大，并求出最大面積．

Answer 1

【答案】（1）點的軌跡是橢圓除去四個點， ， ， ，其方程為（， ）；（2），點的坐標為或.

【解析】試題分析：（1）由已知雙曲線的頂點可得橢圓焦點，再由橢圓過定點可解得參數的值，得到橢圓方程；由已知條件設出點的坐標，再由已知向量積為零可得兩坐標值的關系，再由點在橢圓上，分析可得點的軌跡方程；

（3）由點到直線距離可得三角形面積表達式，由均值不等式可得面積最大值及此時點坐標。

試題解析：

（1）由的焦點為的頂點，得的焦點 ， ．

令的方程為，因為在上，所以．

于是由解得， ，所以的方程為．

由直線與橢圓交于、兩點，知、關于原點對稱，所以．

令點， ，則， ，

， ．

于是由， ，得

即

兩式相乘得．

又因為點在上，所以，即，

代入中，得 ．

當時，得；

當時，則點或，此時或，也滿足方程．

若點與點重合，即時，由解得或．

若點與點重合時，同理可得或．

綜上，點的軌跡是橢圓除去四個點， ， ， ，其方程為（， ）．

（2）因為點到直線 的距離， ，

所以的面積

.

當且僅當，即或 ，

此時點的坐標為或．