Question

【題目】在三棱錐A﹣BCD中，△ABC和△ABD都是以AB為斜邊的直角三角形，AB⊥CD，AB＝10，CD＝6．

（1）問在AB上是否存在點E，使得AB⊥平面ECD？

（2）如果S△ABC＝S△ABD＝30，求二面角C﹣AB﹣D的大�。�

（3）求三棱錐A﹣BCD體積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）60°；（3）40

【解析】

（1）利用線面垂直的判定方法可得；

（2）根據(jù)兩個三角形面積相等可得DE,CE的長度，從而可得二面角；

（3）求出三棱錐A﹣BCD體積的表達式，利用二次函數(shù)知識可得.

（1）假設在AB上存在點E，使得AB⊥平面ECD，

∵在三棱錐A﹣BCD中，△ABC和△ABD都是以AB為斜邊的直角三角形，

AB⊥CD，AB＝10，CD＝6．作CE⊥AB，交AB于E，連結DE，

又CE∩CD＝C，∴AB⊥平面ECD．

（2）由（1）知AB⊥平面CDE，故AB⊥DE，AB⊥CE，∴CED為二面角C﹣AB﹣D的平面角，

∵AB＝10， S△ABC＝S△ABD＝30，∴，

解得DE＝CE＝6，又CD＝6，∴△CDE是等邊三角形，∴∠CED＝60°，

即二面角C﹣AB﹣D的大小為60°．

（3）由（1）知AB⊥平面CDE，故VA﹣BCD＝S△CDEAB＝S△CDE，

∵△ABD和△ABC都是以AB為斜邊的直角三角形，且由（1）知AB⊥平面CDE，

∴CE＝DE，設CE＝DE＝m，則E到CD的距離d＝，∴S△CDE＝，

∵△ABD是直角三角形，∴D在以AB為直徑的圓上，故DE的最大值為AB＝5，

即0＜m≤5，∴S△CDE的最大值為12，

∴三棱錐A﹣BCD體積的最大值為 ．