Question

【題目】已知⊙C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0（m∈R）
（1）求證：對任意m∈R，直線l與⊙C恒有兩個交點；
（2）求直線l被⊙C截得的線段的最短長度，及此時直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，m∈R得：

（x+y﹣4）+m（2x+y﹣7）=0，

∵m∈R，

∴ 得x=3，y=1，

故l恒過定點A（3，1）；

又圓心C（1，2），

∴|AC|= ＜5（半徑）

∴點A在圓C內，從而直線l恒與圓C相交

（2）解：∵弦長的一半、該弦弦心距、圓的半徑構成一個直角三角形，

∴當l⊥AC（此時該弦弦心距最大），直線l被圓C截得的弦長最小，

∵kAC=﹣ ，

∴直線l的斜率kl=2，

∴由點斜式可得l的方程為2x﹣y﹣5=0

【解析】（1）判斷直線l是否過定點，可將（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，m∈R轉化為（x+y﹣4）+m（2x+y﹣7）=0，利用 即可確定所過的定點A（3，1）；再計算|AC|，與圓的半徑R= 比較，判斷l與圓的位置關系；（2）弦長最小時，l⊥AC，由kAC=﹣ 直線l的斜率，從而由點斜式可求得l的方程．