Question

已知函數f（x）=

1+cos2x

4sin( π 2 -x)

-asin

x

2

cos(π-

x

2

)(a＞0)
（1）若a=1，試求解f（x）的最小正周期與單調減區間；
（2）若（sinx+cosx）•f（x）=

a

2

，求tanx．

Answer 1

考點：三角函數的周期性及其求法,運用誘導公式化簡求值,正弦函數的單調性

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（1）首先通過三角函數的恒等變換，把函數關系式變形呈正弦型函數，進一步求出最小正周期和單調區間．
（2）利用三角函數的誘導關系變換求出函數的值．

解答： 解：（1）you函數f（x）=

1+cos2x

4sin( π 2 -x)

-asin

x

2

cos(π-

x

2

)(a＞0)
=

1

2

cosx+

a

2

sinx
當a=1時，函數f（x）=

2

2

sin(x+

π

4

)
所以：T=

2π

1

=2π
令：

π

2

+2kπ≤x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z）
解得：

π

4

+2kπ≤x≤

5π

4

+2kπ
所以單調遞減區間為：[

π

4

+2kπ，

5π

4

+2kπ]（k∈Z）
（2）由（1）得：f（x）=

1

2

cosx+

a

2

sinx
所以：（sinx+cosx）（

1

2

sinx+

a

2

cosx)=

a

2

=

a

2

1

2

sin2x+

a

2

sinxcosx+

1

2

sinxcosx+

a

2

cos2x=

a

2

1-cos2x

2

+

asin2x

2

+

sin2x

2

+

a(1+cos2x)

2

=a

1+a

a-1

sin2x+cos2x=1

1+a

a-1

sinx•cosx=sin2x
所以：tanx=

1+a

a-1

點評：本題考查的知識要點：三角函數關系式的恒等變換，正弦型函數的最小周期和單調區間，利用誘導公式進行函數的求值，屬于基礎題型．