Question

已知

A

4 n

=40

C

5 n

，設f（x）=（x-

1

3 x

）ⁿ．
（1）求n的值；
（2）f（x）的展開式中的哪幾項是有理項（回答項數(shù)即可）；
（3）求f（x）的展開式中系數(shù)最大的項和系數(shù)最小的項．

Answer 1

考點：二項式定理的應用

專題：二項式定理

分析：（1）直接由已知

A

4 n

=40

C

5 n

，利用排列數(shù)公式、組合數(shù)公式求得 n的值．
（2）根據(jù)f（x）=（x-

1

3 x

）⁷ 的展開式的通項公式，可得r=0，3，6 時為有理項，從而得出結論．
（3）由于f（x）的展開式中第r+1項的系數(shù)為

C

r 7

•（-1）^r，可得展開式中系數(shù)最大的項和系數(shù)最小的項．

解答： 解：（1）由已知

A

4 n

=40

C

5 n

，可得n（n-1）（n-2）（n-3）=40•

n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)

5×4×3×2×1

，求得 n=7．
（2）f（x）=（x-

1

3 x

）⁷ 的展開式的通項公式為T_r+1=

C

r 7

•（-1）^r•x7-

4r

3

，
令7-

4r

3

為整數(shù)，可得r=0，3，6，故第一項、第4項、第7項為有理項．
（3）由于f（x）的展開式中第r+1項的系數(shù)為

C

r 7

•（-1）^r，故當r=4時，即第五項的系數(shù)最大；故當r=3時，即第4項的系數(shù)最小．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，二項式系數(shù)的性質，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，屬于基礎題．