Question

已知函數f（x）=e^x（x²+ax+b）的圖象在x=0處的切線方程為y=3，其中有e為自然對數的底數．
（1）求a，b的值；
（2）當-2＜x＜t時，證明f（t）＞

13

e2

；
（3）對于定義域為D的函數y=g（x）若存在區間[m，n]⊆D時，使得x∈[m，n]時，y=g（x）的值域是[m，n]．則稱[m，n]是該函數y=g（x）的“保值區間”．設h（x）=f（x）+（x-2）e^x，x∈（1，+∞），問函數y=h（x）是否存在“保值區間”？若存在，求出一個“保值區間”，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：（1）f（x）=e^x（x²+ax+b），f′（x）=e^x（x²+（a+2）x+b+a）；由題意得

f′(0)=0 f(0)=3

，從而解a，b的值；
（2）求導確定函數的單調區間，從而求得f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上是增函數，在（0，1）上是減函數，從而求f（x）在（-2，+∞）的取值范圍；
（3））h（x）=f（x）+（x-2）e^x=e^x（x²-2x+1），x∈（1，+∞），h′（x）=e^x（x²-1）＞0，從而得方程x+

1

x

-

1

ex

-2=0在（1，+∞）存在兩個根，構建d（x）=x+

1

x

-

1

ex

-2在（1，+∞）存在兩個零點．從而判斷．

解答： 解：（1）f（x）=e^x（x²+ax+b），f′（x）=e^x（x²+（a+2）x+b+a）；

f′(0)=0 f(0)=3

，
解得，a=-3，b=3；
（2）證明：f′（x）=e^x（x²-x）＞0；
則x∈（-∞，0）∪（1，+∞），
故f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上是增函數，
在（0，1）上是減函數，
又∵f（-2）=

13

e2

＜f（1）=e；
∴t＞-2時，f（t）＞

13

e2

，
（3）由題意，h（x）=f（x）+（x-2）e^x=e^x（x²-2x+1），x∈（1，+∞），
h′（x）=e^x（x²-1）＞0，
則h（x）在（1，+∞）單調遞增，
設存在[m，n]，
則

em(m-1)2=m en(n-1)2=n

即方程x+

1

x

-

1

ex

-2=0在（1，+∞）存在兩個根，
構建d（x）=x+

1

x

-

1

ex

-2在（1，+∞）存在兩個零點．
又d′（x）=

x2-1

x2

+

1

ex

＞0，
∴d（x）=x+

1

x

-

1

ex

-2在（1，+∞）上單調遞增，
又∵d（1）＜0，d（3）＞0；
∴存在（1，3）之內只有一個實數根，
因此不存在如題所述的“保值區間”．

點評：本題考查了導數的綜合應用及對新定義的接受能力，屬于難題．