Question

（本小題滿分12分）
已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂.過(guò)F₁的直線交橢圓于B、D兩點(diǎn)，過(guò)F₂的直線交橢圓于A、C兩點(diǎn)，且AC⊥BD，垂足為P.
（Ⅰ）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為，證明：；
（Ⅱ）求四邊形ABCD的面積的最小值.

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）四邊形ABCD的面積的最小值為

證明：
（Ⅰ）橢圓的半焦距.

由AC⊥BD知點(diǎn)P在以線段F₁F₂為直徑的圓上，
故 ，
所以， 
（Ⅱ）（i）當(dāng)BD的斜率k存在且k≠0時(shí)，BD的方程為代入橢圓方程
，并化簡(jiǎn)得  
設(shè)，則


因?yàn)?i>AC與BD相交于點(diǎn)P，且AC的斜率為 ，
所以， 
四邊形ABCD的面積

當(dāng)k²=1時(shí)，上式取等號(hào)。
（ii）當(dāng)BD的斜率k=0或斜率不存在時(shí)，四邊形ABCD的面積S=4.
綜上，四邊形ABCD的面積的最小值為