Question

已知函數(shù)y=

x2-x+n

x2+1

（n∈N^*，y≠1）的最小值為a_n，最大值為b_n，且c_n=4（a_nb_n-

1

2

）．?dāng)?shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為S_n．
（1）請(qǐng)用判別式法求a₁和b₁；
（2）求數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式c_n；
（3）若{d_n}為等差數(shù)列，且d_n=

Sn

n+c

（c為非零常數(shù)），設(shè)f（n）=

dn

(n+36)dn+1

（n∈N^*），求f（n）的最大值．

Answer 1

分析：（1）先整理出關(guān)于y的一元二次方程，再利用判別式，可求求a₁和b₁；
（2）先整理出關(guān)于y的一元二次方程，再利用韋達(dá)定理便可求出a_nb_n，代入c_n的表達(dá)式中即可求出數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式；
（3）由（2）中c_n的通項(xiàng)公式先求出S_n的表達(dá)式，然后根據(jù)題意求出d_n的通項(xiàng)公式，再根據(jù){d_n}為等差數(shù)列的條件便可求出c的值，可得的d_n 的通項(xiàng)公式代入求出f（n）的表達(dá)式，根據(jù)基本不等式，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）n=1時(shí)，y=

x2-x+1

x2+1

，則（y-1）x²+x+y-1=0
∵x∈R，y≠1，
∴△=1-4（y-1）（y-1）≥0，即4y²-8y+3≤0
∴

1

2

≤y≤

3

2

∴a₁=

1

2

，b₁=

3

2

；
（2）由y=

x2-x+n

x2+1

，可得（y-1）x²+x+y-n=0
∵x∈R，y≠1，
∴△=1-4（y-1）（y-n）≥0，即4y²-4（1+n）y+4n-1≤0
由題意知：a_n，b_n是方程4y²-4（1+n）y+4n-1=0的兩根，
∴a_n•b_n=

4n-1

4

∴c_n=4（a_nb_n-

1

2

）=4n-3；
（3）∵c_n=4n-3，∴S_n=2n²-n，∴d_n=

Sn

n+c

=

2n2-n

n+c

∵{d_n}為等差數(shù)列，∴2d₂=d₁+d₃，
∴2c²+c=0，∴c=0（舍去）或c=-

1

2

，∴d_n=

2n2-n

n- 1 2

=2n
∴f（n）=

dn

(n+36)dn+1

=

n

n2+37n+36

=

1

n+ 36 n +37

≤

1

2 36 +37

=

1

49

當(dāng)且僅當(dāng)n=

36

n

，即n=6時(shí)，取等號(hào)，∴f（n）的最大值為

1

49

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列與函數(shù)的綜合運(yùn)用，考查了學(xué)生的計(jì)算能力和對(duì)數(shù)列的綜合掌握，解題時(shí)注意整體思想和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于中檔題．