Question

【題目】已知向量a＝(cos2ωx－sin2ωx，sinωx)，b＝(，2cosωx)，設函數f(x)＝a·b(x∈R)的圖象關于直線x＝對稱，其中ω為常數，且ω∈(0，1)．

(1)求函數f(x)的最小正周期和單調遞增區間；

(2)若將y＝f(x)圖象上各點的橫坐標變為原來的，再將所得圖象向右平移個單位，縱坐標不變，得到y＝h(x)的圖象，若關于x的方程h(x)＋k＝0在上有且只有一個實數解，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）T＝6π；單調遞增區間為，k∈Z.（2）{k|或k＝－2}．

【解析】

（1）先利用平面向量的數量積定義和二倍角公式、輔助角公式得到，再利用對稱性求出值，再利用三角函數的性質進行求解；（2）先利用三角函數圖象變換得到，再令，利用三角函數的圖象和數形結合思想進行求解.

(1)f(x)＝a·b＝(cos2ωx－sin2ωx)＋2sinωxcosωx

＝cos2ωx＋sin2ωx＝2sin.

∵直線x＝是y＝f(x)的圖象的一條對稱軸，

∴(k∈Z)，即ω＝k＋(k∈Z)．

又ω∈(0，1)，∴ω＝，f(x)＝2sin，

∴T＝6π.

令，k∈Z，得，k∈Z，

即函數f(x)的單調遞增區間為，k∈Z.

(2)由（1）得f(x)＝2sin，將y＝f(x)圖象上各點的橫坐標變為原來的，再將所得圖象向右平移個單位，縱坐標不變，得到y＝2sin的圖象，∴h(x)＝2sin.

令＝t，∵0≤x≤，∴－≤t≤，

方程h(x)＋k＝0在上有且只有一個實數解，

即方程2sint＋k＝0在上有且只有一個實數解，

亦即y＝2sint，t∈的圖象與直線y＝－k有且只有一個交點，

畫出圖象分析可知－≤－k＜或－k＝2，即或k＝－2.

故實數k的取值范圍是{k|或k＝－2}．