Question

【題目】已知函數．

（1）當時，判斷函數的單調性；

（2）若恒成立，求a的取值范圍；

（3）已知，證明．

Answer 1

【答案】（1）在區間單調遞增，單調遞減 （2） （3）證明見解析

【解析】

（1）當時，，分析出的正負，從而得的單調區間；

（2）由已知分離變量得恒成立．設，則，對 求導，分析出的正負，從而得的單調區間和最值，可得a的取值范圍；

（3）欲證，兩邊取對數，轉化為，由（2）可知的單調性，可得證．

由題意可知，函數的定義域為：且，

（1）當時，，

若，則；若，則，

所以函數在區間單調遞增，單調遞減．

（2）若恒成立，則恒成立．

又因為，所以分離變量得恒成立．

設，則，所以．

當時，；當時，，

即函數在上單調遞增，在上單調遞減．

當時，函數取最大值，，所以.

（3）欲證，兩邊取對數，可得，

由（2）可知在上單調遞增，且所以，命題得證．