Question

【題目】已知離心率為的橢圓的左頂點為A，且橢圓E經過與坐標軸不垂直的直線l與橢圓E交于C，D兩點，且直線AC和直線AD的斜率之積為.

（I）求橢圓E的標準方程；

（Ⅱ）求證：直線l過定點.

Answer 1

【答案】（I）；（II）證明見解析.

【解析】

（Ⅰ）根據離心率,可得的關系,代入解析式,代入的坐標,即可求得,進而得橢圓的標準方程.

（Ⅱ）設出直線的方程,將直線方程與橢圓方程聯立,根據有兩個不同的交點可知,利用韋達定理表示出,由直線AC和直線AD的斜率之積為可得關于和的方程,即可求得和的關系,代入直線方程即可求得所過定點的坐標;也可將方程設為,將直線方程與橢圓方程聯立,根據有兩個不同的交點可知,利用韋達定理表示出,由直線AC和直線AD的斜率之積為可得關于和的方程,化簡求得的值,即可求得所過定點的坐標.

（I）

又橢圓E經過點

橢圓E的標準方程為

（II）方法一：的方程為,

設,

聯立方程組,

化簡得,

由解得,

且.

,

,

化簡可得：

或（舍）,滿足

直線l的方程為,

直線l經過定點

方法二：設l的方程為,

設,

聯立方程組,

化簡得,

解得：,

且

,

,

化簡可得：

或者（舍）滿足

直線l經過定點.