Question

在平面直角坐標系xOy中，已知對于任意實數k，直線(k＋1)x＋(k－)y－(3k＋)＝0恒過定點F.設橢圓C的中心在原點，一個焦點為F，且橢圓C上的點到F的最大距離為2＋.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(m，n)是橢圓C上的任意一點，圓O：x²＋y²＝r²(r＞0)與橢圓C有4個相異公共點，試分別判斷圓O與直線l₁：mx＋ny＝1和l₂：mx＋ny＝4的位置關系．

Answer 1

（1）＋y²＝1.（2）直線l₁與圓O相交，直線l₂與圓O相離．

(1)由(k＋1)x＋(k－)y－(3k＋)＝0整理
得(x＋y－3)k＋(x－y－)＝0，
解方程組得F(，0)．
設橢圓C的長軸長、短軸長、焦距分別為2a,2b,2c，則由題設知于是a＝2，b＝1. 所以橢圓C的方程為＋y²＝1.
(2)因為圓O：x²＋y²＝r²(r＞0)與橢圓C有4個相異公共點，所以b＜r＜a，即1＜r＜2.
因為點(m，n)是橢圓＋y²＝1上的點，所以＋n²＝1，
且－2≤m≤2.所以∈[1,2]．
于是圓心O到直線l₁的距離d₁＝≤1＜r，
圓心O到直線l₂的距離d₂＝≥2＞r.
故直線l₁與圓O相交，直線l₂與圓O相離