Question

如圖，在直角梯形ABCD中，，，且，E、F分別為線段CD、AB上的點，且．將梯形沿EF折起，使得平面平面BCEF，折后BD與平面ADEF所成角正切值為．

（Ⅰ）求證：平面BDE；
（Ⅱ）求平面BCEF與平面ABD所成二面角（銳角）的大小．

Answer 1

(1)對于面面垂直的證明，主要是通過線面垂直的判定定理，以及面面垂直的判定定理來得到，屬于基礎題。
(2) 45°

試題分析：證明（Ⅰ）∵，平面平面BCEF，∴平面BCEF，

∴是BD與平面ADEF所成角，得．
設，則，，得．
∴F為AB中點，可得，又平面BCEF，得，∴平面BDE．
（Ⅱ）取中點M，連結MB、MD，易知MB∥AD，∴平面ABMD即平面ABD．∵平面BCEF，∴MB，∴平面CDE，得，DM⊥BM．
又MB⊥EC．∴∠DME即平面BCEF與平面ABD所成二面角．
易知∠DME=45°．∴平面BCEF與平面ABD所成二面角為45°．
點評：考查了空間中垂直的證明，以及二面角的求解的運用，屬于基礎題。