Question

【題目】設橢圓C： =1的離心率e= ，動點P在橢圓C上，點P到橢圓C的兩個焦點的距離之和是4．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若橢圓C1的方程為 =1（m＞n＞0），橢圓C2的方程為 =λ（λ＞0，且λ≠1），則稱橢圓C2是橢圓C1的λ倍相似橢圓．已知橢圓C2是橢圓C的3倍相似橢圓．若過橢圓C上動點P的切線l交橢圓C2于A，B兩點，O為坐標原點，試證明當切線l變化時|PA|=|PB|并研究△OAB面積的變化情況．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）依題意，e= = ，
由橢圓的定義可得2a=4，即a=2，
即有c=1，b2=a2﹣c2=3，
則橢圓C方程為： =1；
（Ⅱ）橢圓C的3倍相似橢圓C2的方程為： =3；
①若切線l垂直于x軸，則其方程為：x=±2，解得y=± ，
顯然|PA|=|PB|，|AB|=2 ，△OAB面積為 ×2×2 =2 ；
②若切線l不垂直于x軸，可設其方程為：y=kx+m．
將y=kx+m代人橢圓C方程，得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，
△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）=48（4k2+3﹣m2）=0，
即m2=4k2+3，
設A，B兩點的坐標分別是（x1 ， y1），（x2 ， y2），
將y=kx+m代入橢圓C2的方程，得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣36=0，
此時x1+x2=﹣ ，x1x2= ，
則AB的中點為（﹣ ， ），即為（﹣ ， ），
代入橢圓C的方程，可得 + = = =1，
滿足橢圓方程，則|PA|=|PB|成立；
即有|AB|= |x1﹣x2|=
=
= = ．
又點O到直線l的距離d= ，
可得S△OAB= |AB|d=2 ，
綜上，當切線l變化時，△OAB的面積為定值2
【解析】（Ⅰ）由橢圓的定義可得a=2，再由離心率公式和a，b，c的關系，即可得到b，進而得到橢圓方程；（Ⅱ）依題意，求得橢圓C2方程，討論直線的斜率不存在，得到|PA|=|PB|和面積為定值；當切線l的斜率存在時，設l的方程為：y=kx+m，代入橢圓C2方程，運用韋達定理和中點坐標公式，可得|PA|=|PB|，由弦長公式，和點到直線的距離公式，結合面積公式，計算即可得到面積為定值．