Question

【題目】如圖，在四棱錐中， 、、均為等邊三角形， .

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）若，求點到平面的距離.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ) .

【解析】試題分析：

(Ⅰ)由題意可得，則，據此可得，

由幾何關系可得，則，故平面，利用線面垂直的判定定理有.最后利用線面垂直的判定定理可得平面.

(Ⅱ)由（Ⅰ）知為三棱錐的高.由幾何關系計算可得， ，三棱錐轉化頂點體積相等有，據此可得點到平面的距離為.

試題解析：

(Ⅰ)因為， ， 為公共邊，

所以，

所以，又，

所以，且為中點.

又，所以，

又，所以，結合，

可得，

所以，

即，又，

故平面，又平面，所以.

又，所以平面.

(Ⅱ)由（Ⅰ）知平面，所以為三棱錐的高.

又、、均為等邊三角形，且，

易得， ，故，

，

設點到平面的距離為，

由得，

即，解得，

所以點到平面的距離為.