Question

【題目】設函數f(x)＝ax2－1－lnx，其中a∈R．

（1）若a＝0，求過點(0，－1)且與曲線y＝f(x)相切的直線方程；

（2）若函數f(x)有兩個零點x1，x2，

① 求a的取值范圍；

② 求證：f ′(x1)＋f ′(x2)＜0．

Answer 1

【答案】(1) y＝－x－1 (2) ① (0，e)．②見解析

【解析】試題分析：（1）設切點為T(x0，－1－lnx0)，得切線：y＋1＋lnx0＝－ ( x－x0)，將點(0，－1)代入求解即可；

（2）①求導f ′(x)＝，討論a≤0，和a＞0時函數的單調性求解即可；

②由x1，x2是函數f(x)的兩個零點(不妨設x1＜x2)，得 ，兩式作差得a(x1＋x2)＝，代入要證得式子得2ln＋－＞0，令h(x)＝2lnx＋－x，x∈(0，1)，求導利用單調性求最值即可證得.

試題解析：

（1）當a＝0時，f(x)＝－1－lnx，f ′(x)＝－．

設切點為T(x0，－1－lnx0)，

則切線方程為：y＋1＋lnx0＝－ ( x－x0)．

因為切線過點(0，－1)，所以 －1＋1＋ln x0＝－(0－x0)，解得x0＝e．

所以所求切線方程為y＝－x－1．

（2）① f ′(x)＝ax－＝，x＞0．

(i) 若a≤0，則f ′(x)＜0，所以函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞減，

從而函數f(x)在(0，＋∞)上至多有1個零點，不合題意．

(ii)若a＞0，由f ′(x)＝0，解得x＝．

當0＜x＜時， f ′(x)＜0，函數f(x)單調遞減；當x＞時， f ′(x)＞0，f(x)單調遞增，

所以f(x)min＝f()＝－ln－1＝－－ln．

要使函數f(x)有兩個零點，首先 －－ln＜0，解得0＜a＜e．

當0＜a＜e時，＞＞．

因為f()＝＞0，故f()·f()＜0．

又函數f(x)在(0，)上單調遞減，且其圖像在(0，)上不間斷，

所以函數f(x)在區間(0，)內恰有1個零點．

考察函數g(x)＝x－1－lnx，則g′(x)＝1－＝．

當x∈(0，1)時，g′(x)＜0，函數g(x)在(0，1)上單調遞減；

當x∈(1，＋∞)時，g′(x)＞0，函數g(x)在(1，＋∞)上單調遞增，

所以g(x)≥g(1)＝0，故f()＝－1－ln≥0．

因為－＝＞0，故＞．

因為f()·f()≤0，且f(x)在(，＋∞)上單調遞增，其圖像在(，＋∞)上不間斷，

所以函數f(x)在區間(，] 上恰有1個零點，即在(，＋∞)上恰有1個零點．

綜上所述，a的取值范圍是(0，e)．

②由x1，x2是函數f(x)的兩個零點(不妨設x1＜x2)，得

兩式相減，得 a(x12－x22)－ln＝0，即a(x1＋x2) (x1－x2)－ln＝0，

所以a(x1＋x2)＝．

f ′(x1)＋f ′(x2)＜0等價于ax1－＋ax2－＜0，即a(x1＋x2)－－＜0，

即－－＜0，即2ln＋－＞0．

設h(x)＝2lnx＋－x，x∈(0，1)．則h′(x)＝－－1＝＝－＜0，

所以函數h(x)在(0，1)單調遞減，所以h(x)＞h(1)＝0．

因為∈(0，1)，所以2ln＋－＞0，

即f ′(x1)＋f ′(x2)＜0成立．