Question

【題目】如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，為正三角形，且側面PAB⊥底面ABCD. E，M分別為線段AB，PD的中點.

（I）求證：PE⊥平面ABCD；

（II）求證：PB//平面ACM；

（III）在棱CD上是否存在點G，使平面GAM⊥平面ABCD，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】試題分析：（1）要證線面垂直，可先證線線垂直，再根據線面垂直的判定得到線面垂直；（2）構造三角形的中位線得到線線平行，進而得到線面平行；（3）在棱CD上存在點G，G為CD的中點時，平面GAM⊥平面ABCD，先猜后證，先證線面垂直，由線面推出面面垂直。解析：

（I）證明：因為為正三角形，E為AB的中點，

所以PE⊥AB，

又因為面PAB⊥面ABCD，面PAB∩面ABCD=AB， 平面PAB.

所以PE⊥平面ABCD.

（II）證明：連接BD交AC于H點，連接MH，

因為四邊形ABCD是菱形，

所以點H為BD的中點.

又因為M為PD的中點，

所以MH // BP.

又因為 BP 平面ACM, 平面ACM.

所以 PB // 平面ACM.

（III）在棱CD上存在點G，G為CD的中點時，平面GAM⊥平面ABCD．

證明：連接．由（Ⅰ）得，PE⊥平面ABCD，

所以PE⊥CD，因為ABCD是菱形，∠ ABC＝60°，E為AB的中點，

所以是正三角形，EC⊥AB .

因為CD // AB，

所以EC⊥CD．

因為PE∩EC=E，

所以CD⊥平面PEC，

所以CD⊥PC．

因為M，G分別為PD，CD的中點，

所以MG//PC，

所以CD⊥MG．

因為ABCD是菱形，∠ADC＝60°，

所以是正三角形.

又因為G為CD的中點，

所以CD⊥AG，

因為MG∩AG=G，

所以CD⊥平面MAG，

因為平面ABCD，

所以平面MAG⊥平面ABCD．